Траектории в центральном поле тяготения



Траектории в центральном поле тяготенияПуть, описываемый космическим аппаратом в пространстве наз. траекторией.

Прямолинейные траектории.

Если начальная скорость равна нулю, то тело начинает падение к центу по прямой линии. Движение по прямой линии будет и в том случае, если начальная скорость направлена точно к центру (по радиусу)

Эллиптические траектории.

Если начальная скорость направлена не радиально, то траектория уже не может быть прямолинейной, так как искривляется притяжением Земли.

При этом она лежит целиком в плоскости, проведенной через начальное направление скорости и центр Земли. Если начальная скорость не превышает некоторой величины, то траектория представляет собой эллипс, причем центр притяжения находится в одном из его фокусов. Если эллиптическая орбита не пересекает поверхности притягивающего небесного тела, космический аппарат является его искусственным спутником. Расстояние между вершинами эллипса называется большой осью. Половина большой оси принимается за среднее расстояние спутника от небесного тела и обозначается буквой a. Скорость v и расстояние r спутника от центра притяжения в любой момент времени (в частности, в начальный) связаны со средним расстоянием а зависимостью.

Отношение расстояния между фокусами к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса.

Чем больше начальная скорость, тем больше большая ось орбиты и тем больше.

Ближайшая и наиболее удаленная от центра притяжения точки эллипса называются соответственно перицентром и апоцентром, а прямая линия, их соединяющая, линией апсид.

Для конкретных притягивающих центров эти точки носят специальные названия. Так, если притягивающим телом является Земля, то перицентр и апоцентр наз. соответственно перигеем и апогеем ; если Солнце — перигелием и афелием ; если Луна — периселением и апоселением. Скорость в перигее (vп) максимальна, а апогее (v а) минимальна, причем эти две скорости связаны соотношением vпrп=vаrа, где rп rа — расстояния в перигее и апогее. Скорости в перигее и апогее перпендикулярны к направлениям на центр Земли. Для всех остальных точек эллипса верно соотношение (7) или (7а) Здесь в левых частях стоят произведения расстояний r на трансверальные составляющие скорости vcosa, т.е. на проекции скорости на перпендикуляр к радиальному направлению.



Если умножить левые и правые части равенства (6) , (7) или (7а) на массу m космического аппарата, то легко убедиться, что эти равенства выражают закон сохранения момента количества движения (произведение количества движения mv на величину перпендикуляра, опущенного из точки на линию, указывающую направление скорости) . Рассмотрим важные случаи, когда начальные скорости трансверсальны.

При этом, очевидно, начальная т-ка N0 должна быть перигеем или апогеем. Первое будет в том случае, когда начальная скорость достаточно велика, чтобы спутник начал удаляться на пути к апогею (1 орбита) . Второе будет в том случае, когда скорость меньше той же величины (орбита 2) , при этом возможно падение на Землю (если периней окажется под земной поверхностью или ниже плотных слоев атмосферы) . “Пограничным” является случай, когда начальная скорость такова, что спутник не поднимается и не опускается, т.е. описывает круговую орбиту 3 с постоянной круговой скоростью. Радиус круговой орбиты r равен большой полуоси а. Из формулы (4) Из последней формулы, зная K для Земли, легко найти круговую скорость для любого расстояния r от её центра или для любой высоты h над земной поверхностью (h=r-r°, где r°=6371 км — средний радиус Земли) В частности у поверхности Земли круговая скорость равна 7,910км/c — первой косической скорости.

Если записать формулу (4) для начального момента, а именно: (9) то нетрудно заметить, что с увеличением начальной скорости v0 большая полуось увеличивается. Из формулы видно, что по мере того, как v0^2 приближается к постоянной величине 2K/r0, большая полуось а стремится к бесконечности.

Параболические траектории.

Эллиптическая орбита, у которой “апогей находится в бесконечности” , не является уже эллипсом. Двигаясь по такой траектории, космический аппарат бесконечно далеко уходит от центра притяжения, описывая разомкнутую линию параболу. По мере удаления аппарата его скорость приближается к нулю. Приняв в формуле (3) скорость в бесконечности равной нулю (r=en;, v=0) , мы найдем такую величину начальной скорости v0, которая обеспечивает возможность рассматриваемого движения.

Вычисленная по формуле (10) величина называется параболической скоростью. Получив такую скорость, космический аппарат движется по параболе и уже не возвращается к центру тяготения. Когда скорость (10) сообщается в вертикальном направлении, траекторией является прямая линия, но и в этом случае скорость называют параболической. Между скоростью освобождения и круговой скоростью в любой точке существует простая зависимость (11) Значение скорости освобождения у поверхности Земли носит название второй космической скорости и составляет 11,186 км/c. На высоте h=200 км скорость освобождения сост. 11,015 км/c.

Гиперболические траектории.

Если космический аппарат получит скорость v0, превышающую параболическую, то он также “достигнет бесконечности” , но при этом будет двигаться уже по линии иного рода гиперболе. При этом скорость аппарата в бесконечности (ven;) уже не будет равна нулю. Физически это означает, что по мере удаления аппарата его скорость будет непрерывно падать, но не сможет стать меньше величины ven;, которую можно найти, приняв в формуле (12) r=en;. Получим Величину ven; называют по-разному: остаточная скорость, гиперболический избыток скорости и т.д.

Гиперболическая траектория вдали от центра притяжения становится почти неотличимой от двух прямых линий, называемых асимптотами гиперболы. На большом расстоянии от центра притяжения гиперболическую траекторию приближенно можно считать прямолинейной. Для гиперболических и параболических орбит справедливы как и для эллиптических орбит, формулы (7) и (7а) .

В заключение заметим, что пассивное движение в центральном поле тяготения часто называют кеплеровским движением, а эллиптические, параболические и гиперболические траектории объединяются общим названием кеплеровских орбит. Всегда важно помнить, что любая кеплерова орбита расположена в плоскости, проходящей через центр притяжения. Положение этой плоскости в пространстве не изменяется.

Связанные записи

Метки: , , , , , , , , , , ,

Оставить комментарий